"Rêveries d'un promeneur solitaire" - Promenade

Marc Peigné
Université de Tours

Un promeneur marche le long des quais de Loire, de platane en platane, en oubliant d'une fois à l'autre la direction dans laquelle il cherchait à aller au départ. Quelle est la probabilité, qu'au bout de $100$, de $1000$, de $n$ platanes notre promeneur se retrouve à son point de départ ?

Retrouvons maintenant notre promeneur dans les rues de Manhattan, errant de carrefour en carrefour et repartant chaque fois au hasard dans une des 4 directions; quelle est la probabilité qu'au nieme carrefour, notre promeneur se retrouve à son point de départ ?

Imaginons enfin notre marcheur dans un décor futuriste digne des roman de science-fiction, déambulant sur une structure arborescente et découvrant à chaque carrefour 3 nouveaux chemins jamais explorés jusqu'alors. Quelle est alors la probabilité de revenir au point de départ au bout de n carrefours ?

Evidemment dans les trois cas, la probabilité de retour tend vers 0 lorsque n croît; nous verrons que la vitesse de convergence vers 0 dépend de la taille du "réseau" sur laquelle notre promeneur se déplace et évoquerons alors le lien entre la croissance des groupes (notion que nous préciserons) et certaines propriétés de récurrence des marches aléatoires sur ces groupes.

Cet exposé est destiné à des élèves de 1ère ou terminale scientifique; seules des notions élémentaires de dénombrement sont requises.

Rayon d'action : Région centre