Soient $\partial ' : M' \to P$ et $\partial '' : M'' \to P$ deux modules précroisés totalement libres et soit $\partial = \partial ' * \partial '' : M = M' * M'' \to P$ leur coproduit (dans la catégorie des $P$-modules précroisés). Soient $\partial ^{\rm cr}$ et $\partial ^{\prime \rm cr}$ les modules croisés induits. Alors, si $\partial ^{\rm cr}$ est injectif, le noyau $\ker (\partial ^{\prime \rm cr})$ est l'intersection des termes de la série centrale descendante de $\partial ^{\prime \rm cr}$, la notion de série centrale descendante se généralisant de façon naturelle aux modules croisés. Ce résultat permet d'exprimer le problème d'homotopie de Whitehead en termes de nilpotence résiduelle.