Ce livre étudie en gros la façon dont varient les propriétés des fibres d'un morphisme en géométrie analytique au sens de Berkovich. Nous nous intéressons tout d'abord à la platitude dans ce contexte ; la définition naïve de ce concept n'est pas raisonnable ici, nous expliquons pourquoi et en proposons une autre. Nous cherchons ensuite à décrire les lieux de validité relative (c'est-à-dire dans les fibres) de certaines propriétés usuelles (comme être de Cohen-Macaulay, de Gorenstein, géométriquement régulier...) ; nous montrons que ce sont des parties (localement) Zariski-constructibles de l'espace source. Pour ce faire, nous développons des méthodes systématiques permettant de propager en géométrie de Berkovich, comme on le fait en théorie de schémas, certaines propriétés d'une fibre « générique » à un voisinage de celle-ci.