"Géométrie projective : des droites deviennent des points aux olympiades internationales de mathématiques" par Bodo Lass

Bodo Lass

En géométrie planaire classique, deux points distincts sont toujours alignés, mais deux droites distinctes ne sont pas toujours concourantes, car elles peuvent être parallèles. La géométrie projective permet d'éviter ces exceptions de la même façon que les nombres complexes garantissent l'existence des racines carrées, sans exception. L'œil humain perçoit le monde naturellement de façon projective, car nous n'appréhendons du réel non pas des points, mais bien des rayons de lumière. En géométrie planaire projective, on peut définir une dualité entre les points et les droites: si elle échange le point A avec la droite a et le point B avec la droite b, alors elle échange également la droite (AB) avec le point d'intersection des droites a et b.

L'approche projective permet d'aborder les problèmes de géométrie différemment : des énoncés qui semblent très différents peuvent présenter de grandes
similitudes du point de vue projectif, qui réduit en quelque sorte le nombre de configurations; et un problème choisi pour sa difficulté par le jury aux olympiades internationales de mathématiques peut malgré tout avoir une preuve projective simple et rapide.
 

Durée : 2h.
Matériel nécessaire : Un grand tableau et une salle dans laquelle il est possible de faire le noir complet.
Public visé : Lycée, Lycée (section scientifique), éventuellement Collège (4e-3e)
Notions requises : Acquis mathématiques solides (Théorème de Thalès...)
Langue : allemand, anglais possible.