Soient $E/F$ une extension quadratique de corps $p$-adiques et $G=U(V)$, $H=U (W)$ les groupes unitaires de deux espaces hermitiens $V$ et $W$ sur $E$. Supposons que $V$ contienne $W$ et que le complémentaire orthogonal de $W$ dans $V$ soit quasi-déployé (ce qui signifie que son groupe unitaire est quasi-déployé sur $F$). Pour $\pi $ et $\sigma $ des représentations lisses irréductibles de $G(F)$ et $H(F)$, les auteurs Gan, Gross et Prasad ont défini une multiplicité $m(\pi ,\sigma )$. Dans le cas particulier où $W$ est de codimension $1$ dans $V$, cette multiplicité est simplement la dimension de l'espace d'entrelacements $\operatorname {Hom}_{H(F)}(\pi ,\sigma )$. On énonce et prouve une formule intégrale pour cette multiplicité lorsque $\pi $ et $\sigma $ sont tempérées. On déduit alors de cette formule une version faible de la conjecture locale de Gross-Prasad pour les représentations tempérées des groupes unitaires. Cet article est la continuation directe d'un travail récent de Waldspurger concernant les groupes spéciaux orthogonaux.