"Les imaginaires de l'arithmétique" - Promenade

Xavier Caruso

Beaucoup ont entendu parler du mathématicien français Évariste Galois : il est resté célèbre à la fois pour sa vie mouvementée et pour ses travaux sur les équations algébriques qui, s'ils n'ont malheureusement pas été compris immédiatement par ses pairs, ont joué et continuent de jouer une influence considérable dans pratiquement tous les domaines des mathématiques. Cela est moins connu mais, en complément de ces travaux, Galois publie un court article sur le thème des « équations algébriques sur les congruences » : au lieu de s'intéresser à tous les nombres qui annulent une certaine expression, ils s'intéressent à ceux pour lesquels l'expression en question devient multiple d'un certain nombre entier p fixé. Comme l'on passe des nombres réels aux nombres complexes en ajoutant le nouveau nombre imaginaire i, Galois est amené, pour résoudre ces équations sur les congruences, à ajouter de nouveaux nombres, qu'il appelle les « imaginaires de l'arithmétique ». Il développe ensuite ce que l'on pourrait appeler « la théorie des nombres complexes de l'arithmétique » (et que l'on appelle aujourd'hui la théorie des corps finis) et y démontre des propriétés étonnantes.

Une longue partie de cet exposé sera consacrée à expliquer en détails et à motiver le problème des équations algébriques sur les congruences auquel Galois s'intéresse. Je montrerai ensuite comment interviennent ces « imaginaires de l'arithmétique », comment on construit les « nombres complexes de l'arithmétique » et, surtout, comment on les manipule.

Durée : 1h.
Public visé : Lycée (section scientifique), Public Spécialisé.
Notions requises : nombres complexes.