Nous montrons un théorème de type Livsic positif pour les $C^2$-difféomorphismes Anosov $f$ sur une variété compacte sans bord $M$ et des observables $A$ höldériennes. Étant donnée $A:M\rightarrow \mathbb {R}$, $\alpha $-höldérienne, nous montrons qu'il existe $V:M\rightarrow \mathbb {R}$, $\beta $-höldérienne, $\beta <\alpha $, et une mesure de probabilité $\mu $, $f$-invariante, telles que $ A\leq V\circ f-V + \int \! A\,d\mu . $ Nous appliquons cette inégalité pour montrer l'existence d'un ouvert $\mathcal {G}_\beta $ de fonctions $\beta $-höldériennes, $\beta $ petit, qui admet une unique mesure maximisante supportée par une orbite périodique. De plus, l'adhérence de $\mathcal {G}_\beta $ dans la topologie $\beta $-höldérienne contient toutes les fonctions $\alpha $-höldériennes, avec $\alpha $ proche de $1$.