Résumé de la conférence de B. Rittaud - Journée Annuelle 2011

Répartition  de suites modulo 1
Benoît Rittaud (Laboratoire LAGA, Université Paris XIII) {\sl }

Une suite de Kronecker est une suite définie par la partie fractionnaire des multiples d'un nombre  réel donné alpha.  Un résultat bien connu affirme que la répartition d'une telle suite dans l'intervalle [0,1[ est uniforme si, et seulement si, le nombre  alpha est irrationnel. La vitesse à laquelle la suite se répartit, quantifiée par la notion de discrépance, est, elle, liée au type diophantien de alpha, qui, lui, mesure la manière dont le nombre alpha s'approche  par des rationnels.
Alors que la question de la répartition des suites de Kronecker est aujourd'hui bien comprise, celle de la répartition des parties fractionnaires des puissances d'un nombre réel, même rationnel (comme 3/2), est beaucoup plus difficile ; la réponse à cette question reste   inconnue pour la plupart des  nombres réels, même si le phénomène apparaît très relié  à la  notion  de  normalité de l'écriture d'un nombre réel dans une base donnée de numération.