Résumé G. Rousseau - ER CIRM 2010

Géométrie des immeubles et théorie des représentations

Guy Rousseau

Pour les représentations (à plus haut poids) d'un groupe semi-simple complexe, il est important de connaître les espaces propres d'un tore maximal (par une formule des caractères) et la décomposition du produit tensoriel de deux représentations. Peter Littelmann a élaboré une solution efficace à ces deux problèmes avec son modèle des chemins. En remplaçant ces chemins dans un espace euclidien (= appartement) par des chemins dans un immeuble, on peut prolonger ces résultats. On expliquera d'abord les travaux de Stéphane Gaussent et Peter Littelmann qui relient le modèle des chemins à celui des cycles de Mirkovic-Vilonen, via l'étude des rétractions de segments d'un immeuble. Puis, comme Misha Kapovich et John Millson, on étudiera la géométrie des triangles d'un immeuble pour montrer la "saturation" de l'ensemble des représentations intervenant dans la décomposition d'un produit tensoriel.