Le but de ce volume est d'appliquer une méthode de formes normales à l'estimation des normes Sobolev des solutions de l'équation des ondes de surface avec gravité. Nous éliminons, par un changement de variables paradifférentiel sans perte de dérivées, les termes quadratiques de la nonlinéarité qui pourraient générer une croissance de l'inégalité d'énergie Sobolev. Notre approche est purement Eulérienne, basée sur la formulation de Craig-Sulem-Zakharov des ondes de gravité. Outre ces estimations Sobolev, nous prouvons également des bornes $L^2$ pour l'action de $\partial _x^\alpha Z^\beta $ sur les solutions de l'équation, $Z$ désignant le champ de Klainerman $t\partial _x + 2x\partial _t$. Ces inégalités sont utilisées dans l'article [?]. Dans cette référence, nous prouvons un résultat d'existence globale pour l'équation des ondes de gravité à données de Cauchy petites, régulières, décroissantes à l'infini, et nous obtenons une description asymptotique dans l'espace physique de la solution, qui montre qu'il y a diffusion modifiée. La démonstration de ce résultat d'existence globale repose sur une méthode d'induction simultanée, pour des estimations a priori portant sur des normes Hölder ou Sobolev de la solution de l'équation, sur laquelle agissent des itérés de champs de Klainerman. Le présent volume est consacré à l'obtention du volet Sobolev de ces estimations.