Il existe une manière simple de recoller une paire couplée d’arbres continus aléatoires afin d’obtenir une sphère topologique. La sphère vient équipée d’une mesure et d’une courbe remplissante (qui décrit l’interface  des arbres). Nous présentons une manière explicite et canonique de plonger cette sphère dans $ \mathbf C \cup \{ \infty \}$. Dans ce plongement, la mesure est une certaine forme de gravité quantique de Liouville de paramètre $ \gamma \in (0,2)$, et la courbe est un SLE$ _{\kappa'}$ remplissant l’espace, avec $ \kappa' = 16/\gamma^2$.

Y parvenir requiert de développer une vaste palette d’outils pour  travailler avec les surfaces de gravité quantique de Liouville. Nous montrons comment souder conformément ce que nous appelons des coins quantiques, afin d’obtenir de nouveaux coins quantiques de poids différents. Nous construisons  en volume fini disques et sphères quantiques de types variés, et donnons une description poissonienne de l’ensemble des disques quantiques découpés par un process SLE$ _{\kappa}(\rho)$ intersectant un bord, avec $ \kappa \in (0,4)$. Nous établissons aussi une description en arbres de Lévy de l’ensemble des disques quantiques situés sur la gauche (ou sur la droite) d’un SLE$ _{\kappa'}$ avec $ \kappa' \in (4,8)$. Nous montrons qu’étant donnés deux tels arbres, échantillonnés indépendamment, il existe p.s. une manière canonique de les zipper  ensemble et de recouvrer le SLE$ _{\kappa'}$.

La loi de la paire d’arbres aléatoires continus que nous étudions avait été  obtenue dans un travail antérieur comme limite d’échelle de la paire (arbre/arbre dual) associée à une carte planaire aléatoire décorée par un modèle de Fortuin-Kasteleyn (F-K). Pris dans leur ensemble, ces résultats impliquent qu’une telle carte décorée par un modèle de F-K a pour limite d’échelle une gravité quantique de Liouville décorée  d’un ensemble de boucles conforme (CLE), dans une certaine topologie de  structure arborescente.