Soient $(X,\omega)$ une variété kählérienne compacte et $\mathcal{H}$ l'espace des métriques de Kähler dans la classe de cohomologie de $\omega$. S'il existe une métrique csck dans $\mathcal{H}$, nous montrons que tous les minimiseurs dans l'espace d'énergie finie de la fonctionnelle K-énergie sont lisses, confirmant partiellement une conjecture de Y.A. Rubinstein et le deuxième auteur. Comme une conséquence immédiate, nous en déduisons  que l'existence d'une métrique csck dans $\mathcal{H}$ implique la $J$\propreté de la fonctionnelle K-énergie. Ceci confirme une direction de la conjecture de Tian. En utilisant cette propreté nous montrons qu'un fibré ample $(X,L)$ admettant une métrique csck dans $c_1(L)$ est K-polystable. Quand le groupe d'automorphisme est fini le résultat de propreté, combiné avec un résultat récent de Boucksom-Hisamoto-Jonsson, implique aussi que  $(X,L)$ est uniformément K-stable.