Soit $G={\rm  SL}_2(\mathfrak F) $ où $\mathfrak F$ est une extension finite $\mathbb Q_p$. On suppose que le sous-groupe d'Iwahori $I$ de $G$ est un groupe de Poincaré de dimension $d$. Soit $k$ un corps  contenant le corps résiduel de $\mathfrak F$.

Dans cet article, nous étudions la Ext-algèbre graduée  $E^*=\mathrm{Ext}_{\mathrm{Mod}(G)}^*(k[G/I], k[G/I])$. Sa composante de degré zero est la $k$-algèbre de Hecke du  pro-$p$ Iwahori $H$. Nous étudions  le $H$-bimodule $E^d$  et déduisons que, étant donnée une $k$-représentation irréductible admissible lisse $V$ de $G$, on a $H^d(I, V)=0$ à moins que $V$ ne soit la représentation triviale.

Lorsque  $\mathfrak F=\mathbb Q_p$ avec $p\geq 5$,  on a $d=3$. Dans ce cas, nous décrivons le $H$-bimodule $E^*$ et  la structure d'algèbre du centralisateur  dans $E^*$ du centre de $H$. Nous en déduisons des résultats quant aux valeurs  du foncteur  qui attache à une $k$-représentation lisse (de longueur finie) $V$ de $G$ l'espace de $I$-cohomologie $H ^*(I, V)$.  Nous montrons que $H^*(I,V)$ est toujours de dimension finie. De plus, si $V$ est irréductible, alors $V$ est supersingulière si et seulement si $H^*(I,V)$ est un module supersingulier.