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Calculs explicites de tous les bimodules d'indice infini d'une famille de facteurs de type $\mathsf{II}_1$

Explicit computations of all finite index bimodules for a family of $\mathsf{II}_1$ factors

Stefaan VAES
Calculs explicites de tous les bimodules d'indice infini d'une famille de facteurs de type $\mathsf{II}_1$
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  • Année : 2008
  • Fascicule : 5
  • Tome : 41
  • Format : Électronique
  • Class. Math. : 46L10 (46L37 46L40)
  • Pages : 743-788
  • DOI : doi.org/10.24033/asens.2081

Nous étudions des facteurs $M$ et $N$ de type $\mathsf{II}_1$ associés à de bonnes actions Bernoulli généralisées de groupes $\Gamma$ et $\Lambda$ ayant un sous-groupe infini presque-distingué avec la propriété  (T) relative. Nous démontrons le résultat de rigidité suivant: chaque $M$-$N$-bimodule d'indice fini (en particulier, chaque isomorphisme entre $M$ et $N$) peut être  décrit par une commensurabilité des groupes $\Gamma$, $\Lambda$ et une commensurabilité de leurs actions. L'algèbre de fusion des $M$-$M$-bimodules d'indice fini est identifiée avec une algèbre de Hecke étendue, ce qui fournit les premiers calculs explicites de l'algèbre de fusion d'un facteur de type $\mathsf{II}_1$. Nous obtenons en particulier des exemples explicites de facteurs $\mathsf{II}_1$ dont l'algèbre de fusion est triviale, ce qui veut dire que tous leurs sous-facteurs d'indice fini sont triviaux.

We study $\mathsf{II}_1$ factors $M$ and $N$ associated with good generalized Bernoulli actions of groups having an infinite almost normal subgroup with the relative property~(T). We prove the following rigidity result : every finite index $M$-$N$-bimodule (in particular, every isomorphism between $M$ and $N$) is described by a commensurability of the groups involved and a commensurability of their actions. The fusion algebra of finite index $M$-$M$-bimodules is identified with an extended Hecke fusion algebra, providing the first explicit computations of the fusion algebra of a $\mathsf{II}_1$ factor. We obtain in particular explicit examples of $\mathsf{II}_1$ factors with trivial fusion algebra, i.e. only having trivial finite index subfactors.