Récemment, Eskin, Mirzkhani et partiellement Mohammadi ont établi des résultats de rigidité pour les adhérences de ${\rm SL}_2(\mathbb R)$-orbites dans les espaces de modules de surfaces plates à singularités coniques, vérifiant ainsi une conjecture de McMullen. Ces résultats reposent sur une analogie entre l'action de ${\rm SL}_2(\mathbb R)$ sur ces espaces et son action sur les espaces homogènes de volume fini, où les propriétés de rigidité découlent des théorèmes de Ratner. Ils entraînent des conséquences sur le comptage de trajectoires périodiques dans les billards plans polygonaux et à angles rationnels. Je m'efforcerai de donner une introduction à ces travaux.