SMF

Exposé 1105 : Positivité du cotangent logarithmique et conjecture de Shafarevich-Viehweg

Exposé 1105 : Positivity of logarithmic cotangent bundle and Shafarevich-Viehweg's conjecture

Benoît CLAUDON
Exposé 1105 : Positivité du cotangent logarithmique et conjecture de Shafarevich-Viehweg
  • Consulter un extrait
  • Année : 2017
  • Tome : 390
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Français
  • Class. Math. : 32F75, 14E20, 14D22.
  • Pages : 27-63
  • DOI : 10.24033/ast.1019
Démontrée par A. Parshin et S. Arakelov au début des années 1970, la conjecture d'hyperbolicité de Shafarevich affirme qu'une famille de courbes de genre $g\ge 2$ paramétrée par une courbe non hyperbolique (c'est-à-dire isomorphe à $\mathbb {P}^1$, $\mathbb {C}$, $\mathbb {C}^*$ ou une courbe elliptique) est automatiquement isotriviale : les modules des fibres lisses sont constants. En dimension supérieure, les travaux de E. Viehweg sur les modules des variétés canoniquement polarisées l'ont amené à formuler la généralisation suivante : si une famille de variétés canoniquement polarisées (paramétrée par une base quasi-projective) est de variation maximale, alors la base est de log-type général. Il s'agit donc d'une forme d'hyperbolicité algébrique attendue pour l'espace des modules. En adaptant des résultats dus à Y. Miyaoka sur la semi-positivité générique du fibré cotangent au cadre logarithmique (et orbifolde), F. Campana et M. Păun ont récemment obtenu une réponse positive à la conjecture de Viehweg. Cet exposé sera également l'occasion de donner un aperçu de la ification des orbifoldes développée par F. Campana. C'est d'ailleurs dans ce cadre que s'énonce la forme optimale de la conjecture de Viehweg démontrée par B. Taji.
Proven by A. Parshin and S. Arakelov in the early 70's, Shafarevich's hyperbolicity conjecture states that a family of curves of genus $g\ge 2$ parametrized by a non hyperbolic curve (i.e., isomorphic to $\mathbb {P}^1$, $\mathbb {C}$, $\mathbb {C}^*$ or an elliptic curve) has to be isotrivial : the moduli of smooth fibres are constant. In higher dimensions, Viehweg's works on moduli of canonically polarized manifolds led him to generalize this statement in the following way : if a family of canonically polarized manifolds (parametrized by a quasi-projective base) has maximal variation, the base is then of log-general type. It can be thought of as an algebraic hyperbolicity property which is expected to hold for the moduli space. Adapting results due to Y. Miyoaka on generic semi-positivity of cotangent bundle to the framework of pairs, F. Campana and M. Păun recently obtained a positive answer to Viehweg's conjecture. We will also take the opportunity of this talk to present the ification of orbifolds as developed in Campana's works. This setting is moreover the right one to state the optimal version of Viehweg's conjecture proven by B. Taji.
Fibré cotangent orbifolde, feuilletage singulier, intégrabilité algébrique, espace de modules de variétés canoniquement polarisées.
Orbifold cotangent sheaf, singular foliations, algebraic integrability, moduli space of canonically polarized manifolds.
Prix
Adhérent 7 €
Non-Adhérent 10 €
Quantité
- +