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Exposé 1111 : Problèmes de modules formels

Exposé 1111 : Formal moduli problems

Bertrand TOËN
Exposé 1111 : Problèmes de modules formels
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  • Année : 2017
  • Tome : 390
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Français
  • Class. Math. : 14B12, 18G55, 14A20.
  • Pages : 199-244
  • DOI : 10.24033/ast.1025

Le thème principal de cet exposé est la théorie des déformations (formelles), dont l'objet est l'étude des familles algébriques de structures variées et paramétrées par des anneaux artiniens. Nous expliquerons comment des idées dues à V. Drinfeld (et développées par V. Hinich, K. Behrend, M. Mannetti, M. Kontsevich, J. Lurie et bien d'autres) ont amené à remplacer les anneaux artiniens par des dg-anneaux artiniens, et à introduire la notion de problème de modules formel, qui fournit un cadre pertinent pour la théorie des déformations. En particulier, nous présenterons un des points culminants de cette approche, à savoir la construction par J. Lurie d'une équivalence entre les problèmes de modules formels et les dg-algèbres de Lie, ainsi que certaines de ses variantes et ses liens avec la dualité de Koszul. Nous mentionnerons par ailleurs quelques contreparties globales comme par exemple le lien avec les es d'Atiyah ou encore la notion de support singulier de faisceaux cohérents de Arinkin-Gaitsgory.

The main subject of this talk is the (formal) deformation theory, whose purpose is the study of algebraic families of various structures parametrized by artinian rings. We will explain how fundamental ideas of V. Drinfeld (developed by V. Hinich, K. Behrend, M. Mannetti, M. Kontsevich, J. Lurie and many others) have led to replace artinian rings by artinian dg-rings, and to introduce the notion of formal moduli problems, which provides a natural setting for deformation theory. In particular, we will present one of the culminating points of this approach, namely the construction by J. Lurie of an equivalence between formal moduli problems and dg-lie algebras, as well as its possible variants and its relation with Koszul duality. We will also mention some global counterpart as for example the link with Atiyah es or with the notion of singular support of coherent sheaves of Arinkin-Gaitsgory.

Théorie des déformations, problèmes de modules, dg-algèbres de Lie, géométrie dérivée, dualité de Koszul.
Deformation theory, moduli problems, dg-Lie algebra, derived geometry, Koszul duality.
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