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Exposé 1112 : Approche variationnelle pour les équations de Monge-Ampère complexes et applications géométriques

Exposé 1112 : Variational approach for complex Monge-Ampère equations and geometric applications

Jean-Pierre DEMAILLY
Exposé 1112 : Approche variationnelle pour les équations de Monge-Ampère complexes et applications géométriques
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  • Année : 2017
  • Tome : 390
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 53C55, 32J27, 32P05.
  • Pages : 245-275
  • DOI : 10.24033/ast.1026

Solutions of Monge-Ampère equations on compact Kähler manifolds can be obtained by a variational method independent of Yau's theorem. The technique relies on the study of certain functionals (Ding-Tian, Mabuchi) on the space of Kähler metrics, and on their geodesic convexity, due to Berndtsson-Berman in its general form. Applications include the existence and uniqueness of Kähler-Einstein metrics on $\mathbb Q$-Fano varieties with log terminal singularities and a new proof of a uniform version of the Yau-Tian-Donaldson conjecture.

Les équations de Monge-Ampère sur les variétés kählériennes compactes peuvent être résolues par une méthode variationnelle indépendante du théorème de Yau. La technique repose sur l'étude de certaines fonctionnelles (Ding-Tian, Mabuchi) sur l'espace des métriques de Kähler, et sur leur convexité géodésique, due à Berndtsson-Berman dans sa forme générale. Les applications incluent l'existence et l'unicité de métriques de Kähler-Einstein sur les variétés $\mathbb Q$-Fano à singularités terminales, et une nouvelle preuve d'une version uniforme de la conjecture de Yau-Tian-Donaldson.

Variational method, Monge-Ampère equation, Kähler-Einstein metric, plurisubharmonic potential, Fano variety, Tian-Yau-Donaldson conjecture, Donaldson-Futaki invariant, $K$-stability, space of Kähler potentials, Aubin functional, Mabuchi functional, Ding functional.
Méthode variationnelle, Monge-Ampère equation, potentiel plurisousharmonique, métrique de Kähler-Einstein, variété de Fano, conjecture de Tian-Yau-Donaldson, invariant de Futaki-Donaldson, $K$-stabilité, espaces des métriques de Kähler, fonctionnelle d'Aubin, fonctionnelle de Mabuchi, fonctionnelle de Ding.
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