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Exposé 1115 : Théorie de Hodge du théorème de décomposition

Exposé 1115 : The Hodge theory of the Decomposition Theorem

Geordie WILLIAMSON
Exposé 1115 : Théorie de Hodge du théorème de décomposition
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  • Année : 2017
  • Tome : 390
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 58A14, 32S60, 32S35, 55N33.
  • Pages : 335-367
  • DOI : 10.24033/ast.1029
In its simplest form the Decomposition Theorem asserts that the rational intersection cohomology of a complex projective variety occurs as a summand of the cohomology of any resolution. This deep theorem has found important applications in algebraic geometry, representation theory, number theory and combinatorics. It was originally proved in 1981 by Beilinson, Bernstein, Deligne and Gabber as a consequence of Deligne's proof of the Weil conjectures. A different proof was given by Saito in 1988, as a consequence of his theory of mixed Hodge modules. More recently, de Cataldo and Migliorini found a much more elementary proof which uses only ical Hodge theory and the theory of perverse sheaves. We present the theorem and outline the main ideas involved in the new proof.
Dans sa forme la plus simple, le théorème de décomposition nous dit que la cohomologie d'intersection rationnelle d'une variété algébrique complexe est un facteur direct de la cohomologie de toute résolution. Ce théorème profond a trouvé des applications importantes en géométrie algébrique, en théorie des représentations, en théorie des nombres et en combinatoire. Sa preuve originelle est due à Beilinson, Bernstein, Deligne et Gabber et utilise la preuve par Deligne des conjectures de Weil. Une autre preuve en a été donnée par Saito en 1988, comme corollaire de sa théorie des modules de Hodge mixtes. Plus récemment, de Cataldo et Migliorini ont trouvé une preuve beaucoup plus élémentaire, qui utilise seulement la théorie de Hodge ique et la théorie des faisceaux pervers. Le but de cet exposé est d'expliquer l'énoncé du théorème et de donner les grandes lignes de la nouvelle preuve.
Perverse sheaves, decomposition theorem, Hodge theory.
Faisceaux pervers, théorème de décomposition, théorie de Hodge.
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