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Exposé 1116 : Topologie des hypersurfaces nodales de fonctions aléatoires gaussiennes

Exposé 1116 : Topology of nodal hypersurfaces of Gaussian random functions

Nalini ANANTHARAMAN
Exposé 1116 : Topologie des hypersurfaces nodales de fonctions aléatoires gaussiennes
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  • Année : 2017
  • Tome : 390
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Français
  • Class. Math. : 60G15, 60G60, 35B05, 34L20, 58J40.
  • Pages : 369-408
  • DOI : 10.24033/ast.1030
Depuis l'expérience de Chladni, les lignes nodales des fonctions propres du laplacien sur une variété riemannienne fascinent. Courant donne une borne supérieure sur le nombre de domaines nodaux, et aucune borne inférieure n'est connue – il n'est même pas vrai que le nombre de domaines nodaux doive tendre vers l'infini avec la valeur propre. Un autre domaine où le lieu des zéros occupe une place centrale est bien sûr la géométrie algébrique ; les variétés projectives réelles sont définies comme lieu des zéros réels de polynômes homogènes. Les bornes connues sur le nombre de composantes connexes du lieu des zéros en fonction du degré et de la dimension ne sont très certainement pas optimales (à part en bas degré et dimension). Ces deux exemples incitent à considérer des fonctions propres ou des polynômes réels « aléatoires », et à s'intéresser à la topologie typique du lieu des zéros. Nous décrirons les approches de Nazarov et Sodin (2007-2015) et Gayet et Welschinger (2010-2015) dans le cas gaussien.
The nodal hypersurfaces of Laplacian eigenfunctions on a Riemannian manifold have fascinated mathematicians since Chladni's experiment. Courant gave an upper bound on the number of nodal domains, but no lower bound is known – it is not even true that the number of nodal domains must go to infinity with the frequency. The zero locus of polynomials is the central object of study in algebraic geometry. Real projective varieties are defined as the real zero locus of homogeneous polynomials. Understanding their topology is the first part of Hilbert's 16th problem, which remains enigmatic to this day. If one restricts attention to the number of connected components, the state of the art is only slightly better, since the optimal bounds are only known in low degree or dimension. These two examples are a motivation to study “random” polynomials or eigenfunctions of the Laplacian, and to study the topology of their zeroes from a probabilistic point of view. We will describe the approach of Nazarov and Sodin, and Gayet and Welschinger, in the case of Gaussian functions.
Lignes nodales, processus gaussiens, polynômes aléatoires.
Nodal lines, gaussian fields, random polynomials.
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