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Exposé 1119 : La fonction de Liouville dans les intervalles courts

Exposé 1119 : The Liouville function in short intervals

Kannan SOUNDARARAJAN
Exposé 1119 : La fonction de Liouville dans les intervalles courts
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  • Année : 2017
  • Tome : 390
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 11N25, 11N64.
  • Pages : 453-479
  • DOI : 10.24033/ast.1033

La fonction de Liouville $\lambda $ est une fonction complètement multiplicative à valeur $\lambda (n) = +1$ [resp. $-1$] si $n$ admet un nombre pair [resp. impair] de facteurs premiers, comptés avec multiplicité. On s'attend à ce qu'elle se comporte comme une collection « aléatoire » de signes, $+1$ et $-1$ étant équiprobables. Par exemple, une conjecture célèbre de Chowla dit que les valeurs $\lambda (n)$ et $\lambda (n+1)$ (plus généralement en arguments translatés par $k$ entiers distincts fixes) ont corrélation nulle. Selon une autre croyance répandue, presque tous les intervalles de longueur divergeant vers l'infini devraient donner à peu près le même nombre de valeurs $+1$ et $-1$ de $\lambda $. Récemment Matomäki et Radziwiłł ont établi que cette croyance était en effet vraie, et de plus établi une variante d'un tel résultat pour une e générale de fonctions multiplicatives. Leur collaboration ultérieure avec Tao a conduit ensuite à la démonstration des versions moyennisées de la conjecture de Chowla, ainsi qu'à celle de l'existence de nouveaux comportements de signes de la fonction de Liouville. Enfin un dernier travail de Tao vérifie une version logarithmique de ladite conjecture et, de là, résout la conjecture de la discrépance d'Erdős. Dans ce Séminaire je vais exposer quelques-unes des idées maîtresses sous-jacentes au travail de Matomäki et Radziwiłł.

The Liouville function $\lambda (n)$ is a completely multiplicative function, taking the value $1$ if $n$ has an even number of prime factors (counted with multiplicity) and $-1$ if $n$ has an odd number of prime factors. This function is expected to behave like a “random” collection of signs, plus or minus one both being equally likely. For example, a famous conjecture of Chowla asserts that the values of $\lambda (n)$ and $\lambda (n+1)$ (and more generally translates of any $k$ fixed distinct integers) are uncorrelated. Another well known belief was that almost all intervals with length tending to infinity should have roughly an equal number of plus and minus values of the Liouville function. Recently, Matomäki and Radziwiłł. established that this last belief is indeed true, and more generally established a variant of such a result for a general of multiplicative functions. Further joint work with Tao led to the proof of average versions of the Chowla conjecture, and to proving the existence of new sign patterns in the Liouville function. Finally, the recent work of Tao establishes a logarithmic version of the Chowla conjecture, and building on this settled the Erd ős discrepancy conjecture. I will discuss some of the ideas behind these results in the Seminar.

Multiplicative functions, short intervals, sign patterns.
Fonctions multiplicatives, intervalles courts, comportements de signes.
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