L'exposé concernera principalement les espaces de modules ${\mathcal F}_g$ de surfaces $K3$ « de genre $g$ ». Parallèlement à ce qui est connu depuis les années 80 pour les espaces de modules de courbes stables $\overline {\mathcal {M}}_g$ (Harris-Mumford) et de variétés abéliennes principalement polarisées ${\mathcal A}_g$ (Tai), Gritsenko-Hulek-Sankaran ont montré récemment que ces espaces sont de type général pour $g$ suffisamment grand. On a par contre, en petit genre, l'unirationalité de ${\mathcal F}_g$ et $\overline {\mathcal {M}}_g$ (Mukai, Verra...). Enfin, Farkas et Popa ont utilisé les courbes sections hyperplanes de surfaces $K3$ pour étudier les diviseurs effectifs sur $\overline {\mathcal {M}}_g$ et la conjecture de la pente de Harris et Morrison.