La formule de Poisson-Plancherel, conjecturée par M. Vergne et dont nous donnons une forme plus précise dans l'introduction, détermine la mesure de Plancherel d'un groupe de Lie au voisinage de l'élément neutre. Nous établissons cette conjecture dans le cas précisé par le titre de cet article. Cela nous amène à introduire et étudier des intégrales orbitales, non pas seulement sur l'algèbre de Lie comme dans le cas réductif, mais aussi et surtout sur le dual de celle-ci. Cette étude se fait d'une part en montrant l'existence d'une e particulière de polynômes invariants sous l'action co-adjointe et d'autre part en établissant un résultat d'estimation a priori de type $L^1$ pour des fonctions $C^\infty $ dans une chambre de Weyl d'un sous-système de racines. De plus les propriétés de ces intégrales orbitales sont moins plaisantes que dans le cas réductif, si bien que nous devons établir la formule sommatoire de Poisson pour une e de fonction de plusieurs variables présentant des singularités importantes.