Soit $K$ un corps local non archimédien. La conjecture prédit l'existence d'une bijection naturelle entre l'ensemble des es d'équivalence de représentations lisses irréductibles du groupe $GL_n(K)$, et l'ensemble des es de représentations ‘$\rm Fr$–semi-simples' de degré $n$ du groupe de Weil–Deligne de $K$. Cela était connu pour $n = 2$ ou $3$, dans certains cas modérés, ainsi que pour ${\rm Car} (K) > 0$. Harris et Taylor l'ont prouvée en général. Henniart vient de découvrir une autre démonstration plus simple, mais qui ne donne cependant pas autant d'informations géométriques.