SMF

Sur les solutions d'un système d'équations polynomiales sur une variété abélienne [d'après G. Faltings et P. Vojta]

Lucien SZPIRO
Sur les solutions d'un système d'équations polynomiales sur une variété abélienne [d'après G. Faltings et P. Vojta]
  • Année : 1990
  • Tome : 189-190
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Français
  • Class. Math. : 14K15
  • Pages : 429-446
  • DOI : 10.24033/ast.44

Dans un manuscrit récent, G. Faltings annonce le résultat suivant : Soit $X$ une sous-variété algébrique fermée d'une variété abélienne $A$. Supposons que $X$ ne contienne aucun translaté d'une sous-variété abélienne des $A$. Alors, pour tout corps de nombres $K$, $X$ ne possède qu'un nombre fini de points rationnels sur $K$. Une courbe algébrique projective de genre au moins deux satisfait aux hypothèses ci-dessus. G. Faltings a donc un énoncé bien plus général que la “conjecture” de Mordell (démontrée il y a 6 ans). La technique utilisée ici, étonnamment, n'utilise que très peu d'arithmétique (essentiellement les théorèmes de Minkowski sur les points d'un réseau dans un convexe compact). Par contre, la théorie algébro–géométrique fine des diviseurs sur une variété algébrique (ouverture d'un cône ample, polarisation des variétés abéliennes) est solidement mise à profit. C'est P. Vojta qui a mis en avant la notion d'“index” d'une section d'un fibré en droite en un point, afin de contrôler les “approximations diophantiennes”. Cet objet est l'ingrédient technique nouveau et principal du papier.

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