Parmi toutes les métriques riemanniennes sur une variété compacte $M$ dont la courbure varie entre -1 et 1, laquelle a le plus petit volume ? Récemment, G. Besson, G. Courtois et S. Gallot ont montré qu'une métrique à courbure sectionnelle –1, lorsqu'il en existe, possède cette propriété de minimum. L'exposé expliquera la preuve de ce résultat ainsi que ses nombreuses conséquences. Deux notions jouent un rôle important. Une sorte de volume purement topologique, le volume simplicial de M. Gromov, et un invariant issu de la théorie ergodique, l'entropie du flot géodésique.