Prix Academie 2009 - Colliot-Thélène

Formes homogènes en beaucoup de variables
Jean-Louis Colliot-Thélène

Depuis Euler (1754), on sait que les formes quadratiques en 3 variables sur le corps fini à p éléments (p nombre premier) ont un zéro non trivial. Depuis Max Noether (1870) sait qu'il en est de même sur le corps des fonctions rationnelles en une variable sur le corps des complexes. Depuis Hensel et Hasse on sait aussi que toute forme quadratique sur un corps p-adique en au moins 5 variables a un zéro non trivial, et le même résultat vaut pour une forme quadratique sur le corps des rationnels dès qu'elle a un zéro réel non trivial (Minkowski, Hasse). Comment généraliser ces résultats ?