Considérons une $n$\variété fermée $M$ admettant une métrique riemannienne à courbure strictement négative.
Nous montrons que pour toute métrique riemannienne sur $M$ de volume suffisamment petit, il existe un point dans le revêtement universel de $M$ tel que le volume des boules de rayon $r \geq 1$ centrées en ce point est supérieur ou égal au volume de la boule de même rayon dans l'espace hyperbolique de dimension $n$. Nous donnons également une interprétation de ce résultat en termes de courbure scalaire macroscopique. Ce résultat, valable plus généralement dans le contexte des espaces de longueur polyédraux, est lié à une question de Guth. Sa démonstration repose sur une généralisation de progrès récents en géométrie métrique concernant la largeur d'Alexandrov/Urysohn mettant en jeu le volume des boules de rayon d'une certaine amplitude avec un effrondrement à différentes échelles.