On s’attend à ce que de nombreux modèles de croissance aléatoire uni-dimensionelle appartiennent à la classe d’universalité de Kardar–Parisi–Zhang (KPZ). En changeant convenablement le temps d’échelle via les exposants caractéristiques de KPZ d’un tiers et de deux tiers, on considère le profil déterminé par un tel modèle. Dans la limite de temps infini, ce profil devrait converger vers le processus $\mathrm{Airy}_2$ $ \mathcal A : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ à l’addition d’une parabole près ; constatation dont la preuve est connue dans les cas de certains modèles intègrables. Ce processus peut-être identifié par la correspondance de Robinson–Schensted–Knuth à la courbe la plus haute d’un système indexé par $ \mathbb{N}$ de courbes aléatoires continue : l’ensemble de lignes d’Airy.
Parmi nos résultats principaux est l’énoncé que le processus $\mathrm{Airy}_2$ présente une grande similarité avec le mouvement brownien (de taux deux) sur un intervalle de longueur de l’ordre de l’unité. Grâce à ce résultat, nous obtenons des bornes sur les probabilités $\mathrm{Airy}_2$ d’une large classe d’évènements à partir de bornes browniennes homologues. Ce résultat a le corollaire que la dérivée de Radon–Nikodym de la loi $ \mathcal A : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ sur l’intervalle $ [- 1, 1]$ par rapport à la loi brownienne sur cet intervalle appartient à tous les espaces $ L^ p$ où $ p \in(1, \infty)$. En fait, la comparaison quantitative de bornes probabilistes est également vraie pour le profil d’énergie après changement d’échelle (avec condition initiale delta Dirac) du modèle de percolation de passage dernier brownien, un modèle qui appartient à la classe d’universalité de KPZ et dans lequel l’énergie de chemins est maximisée dans un environnement aléatoire brownien.
Notre technique de preuve utilise une propriété de ré-échantillonnage probabiliste, la propriété de Gibbs brownienne, qui est satisfaite par l’ensemble parabolique de lignes d’Airy ; cet article développe l’analyse de Gibbs brownienne de cet ensemble commencée par Corwin et Hammond (2014) et poursuivie par Hammond (2019). Notre comparaison brownienne de profils après changement d’échelle est un élément du programme plus vaste de l’étude de l’universalité de KPZ par les moyens géométriques et probabilistes, facilité par l’usage, limité mais critique, des énoncés intégrables. En effet, le résultat de comparaison est un outil puissant dans l’étude de cette classe d’universalité. Nous prouvons quelques corollaires au sujet de la structure d’états quasi-minimaux dans le percolation de dernier passage brownien, ou de la structure brownienne trouvée dans les profils d’interface après changement d’échelle donnée par l’évolution d’un élément arbitraire dans une classe très large de conditions initiales.