Les classes de Chern motiviques sont des éléments de la $K$-théorie d'une variété algébrique $X$, qui dépendent d'un paramètre supplémentaire $y$. Elles sont déterminées par la fonctorialité et une propriété de normalisation pour $X$ lisse. Dans cet article, nous calculons les classes de Chern motiviques des cellules de Schubert dans la $K$-théorie (équivariante) des variétés de drapeaux $G/B$. Nous montrons que la classe motivique d'une cellule de Schubert est déterminée récursivement grâce aux opérateurs de Demazure-Lusztig de l'algèbre de Hecke du groupe de Weyl de $G$, à partir de la classe d'un point. Nous conjecturons que les classes obtenues satisfont une propriété de positivité.  Nous utilisons nos récurrences pour obtenir une nouvelle preuve du fait que les classes sont équivalentes à certaines enveloppes stables définies récemment en $K$-théorie par Okounkov et ses collaborateurs, retrouvant ainsi un résultat de Fehér, Rimányi, et Weber. L'action de l'algèbre de Hecke sur la $K$-théorie de la variété de drapeaux du dual de Langlands coïncide avec l'action de Hecke sur les invariants d'Iwahori de la représentation par série principale associée à un caractère non ramifié pour un groupe sur un corps local non archimédien.  Cela induit une correspondance identifiant les duaux des classes de Chern motiviques à la base standard du module des invariants d'Iwahori, et la base des points fixes à la base de Casselman. Nous appliquons ce résultat pour démontrer deux conjectures dues à Bump, Nakasuji et Naruse concernant les factorisations et les propriétés d'holomorphie des coefficients de la matrice de transition entre la base standard et la base de Casselman.