On démontre un variant de la décomposition Beauville-Bogomolov pour les variétés faiblement ordinaire, ou $F$-scindé en général, avec $K_S \sim 0$ en caractéristic $p>0$. On démontre aussi que l'hypothèse faiblement ordinaire est nécessaire. De plus, si l'hypothèse $K_X \sim 0$ est remplacée par le fait que $-K_X$ soit semi-ample, alors on démontre l'affirmation moins forte que toutes fibres du morphisme Albanese sont isomorphes. À la fin, on applique notre théorème principal pour arriver aux conséquences sur les points rationnels et les groupes fondamentaux des variétés faiblement ordinaires $K$-triviales en caractéristique positive.