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Dynamique des filaments de tourbillon hélicoïdaux dans les écoulements incompressibles non visqueux

Dynamics of helical vortex filaments in nonviscous incompressible flows

Martin DONATI, Christophe LACAVE, Evelyne MIOT
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  • Année : 2026
  • Fascicule : 2
  • Tome : 154
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 35Q31, 76B47
  • Pages : 269-314
  • DOI : 10.24033/bsmf.2922

Dans cet article, nous étudions les solutions concentrées des équations d'Euler tridimensionnelles avec symétrie hélicoïdale sans swirl. Nous prouvons que toute solution dont la vorticité est initialement concentrée autour d'hélices de rayons deux à deux distincts reste concentrée à proximité de filaments. Nous établissons que ces filaments sont des hélices en translation et en rotation, en accord avec la conjecture des filaments de tourbillon. La localisation est faible dans la direction du mouvement mais forte dans sa direction normale, et se maintient sur un intervalle de temps arbitrairement long dans l'échelle de temps naturelle. Afin de prouver ce résultat, nous obtenons une nouvelle formule explicite pour la partie singulière du noyau de Biot-Savart dans une reformulation bidimensionnelle du problème. Cela nous permet d'obtenir une décomposition appropriée du champ de vitesse permettant d'étendre les méthodes récentes utilisées pour décrire la dynamique des anneaux de tourbillons ou des tourbillons ponctuels pour l'équation des lacs.

In this paper, we study concentrated solutions of the three-dimensional Euler equations in helical symmetry without swirl. We prove that any helical vorticity solution initially concentrated around helices of pairwise distinct radii remains concentrated close to filaments. As suggested by the vortex filament conjecture, we prove that those filaments are translating and rotating helices. Similarly to what is obtained in other frameworks, the localization is weak in the direction of the movement but strong in its normal direction and holds on an arbitrary long time interval in the naturally rescaled time scale. In order to prove this result, we derive a new explicit formula for the singular part of the Biot--Savart kernel in a two-dimensional reformulation of the problem. This allows us to obtain an appropriate decomposition of the velocity field to reproduce recent methods used to describe the dynamics of vortex rings or point-vortices for the lake equation.

Équations d'Euler, fonction de Green des équations elliptiques du second ordre, conjecture des filaments de tourbillon, vorticité concentrée
Euler equations, Green's function of second-order elliptic equations, vortex filament conjecture, concentrated vorticity

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