Soit $X$ une surface dans l'espace affine ${\Bbb A}^4$ sur un corps algébriquement clos $k$. On montre que $X$ est ensemblistement intersection complète si $k = {\Bbb F}_p$ ou si $X$ n'est pas birationnelle à une surface projective de type général. On donne aussi des exemples de variétés affines lisses de dimension $n$ qui ne sont pas des sous-variétés fermées dans ${\Bbb A}^{4n}$. La plupart des résultats s'appuie sur les théorèmes de Mumford et de Roitman concernant le groupe de Chow $\mathrm{CH}_0 (X)$.