Histoires d'irrationnels

Benoît Rittaud

Nous donnons quelques faits mathématiques et historiques concernant les nombres irrationnels. Pour situer le contexte de la découverte de ces entités ma thématiques, nous commençons par donner quelques repères sur les pythagoriciens, puis nous expliquons au travers d'un exemple le procédé grec de l'anthyphérèse, ou algorithme d'Euclide, permettant d'estimer le rapport entre deux grandeurs.

La deuxième partie consiste à exposer comment la découverte des irrationnels a pu être réalisée, en suivant une idée proposée par K. von Fritz en 1945. Nous démontrons que dans un pentagramme, qui est le pentagone régulier dans lequel on a tracé l'étoile à cinq branches, le rapport du côté de l'étoile à cinq branches au côté du pentagone est une quantité que l'on ne peut atteindre exactement à partir de l'anthyphérèse : c'est un irrationnel. Le procédé de la preuve permet, en utilisant les notations algébriques d'aujourd'hui, d'écrire ce rapport (qui est le nombre d'or) sous forme de fraction continue.

La troisième partie concerne les approximations rationnelles : au travers des exemples que sont l'année solaire ou le nombre pi, nous expliquons comment les fractions continues permettent d'approcher une quantité "compliquée" par une fraction simple : dans cet esprit, le développement de la valeur en franc d'un euro montre que même des quantités rationnelles peuvent gagner à être approchées par des rationnels. Nous expliquons alors en quoi le nombre d'or peut être envisagé comme "irrationnel extrême" : nous définissons la notion de tore en dimension 2 (au travers de la situation du jeu vidéo "Pac-Man"), et nous considérons le problème du recouvrement du tore par un disque se déplaçant suivant une direction fixée. Nous expliquons (sans démonstration rigoureuse) que la direction qui donne le recouvrement le plus rapide est donnée par le nombre d'or. Nous concluons en indiquant que l'équivalent spatial de ce problème (cadre naturel pour des questions pratiques de passage d'un faisceau d'énergie dans un réseau cristallin cubique) est un problème encore ouvert.