Si je lance une bille sur le sol, elle ira tout droit, suivant une trajectoire rectiligne.

Si je pouvais lancer une bille et la suivre tout autour d'une terre parfaitement sphérique, je m'apercevrais qu'elle suit un grand cercle. Dans les deux cas, droite ou grand cercle, on parle de géodésique.

Mais si je m'avise de lancer une bille sur une selle de cheval, disons de l'arrière vers l'avant, restera-t-elle sur la ligne de crête? Ou bien tombera-t-elle à gauche ou à droite? Sur certaines surfaces dites hyperboliques, connaître le passé d'une bille n'aide en rien à prévoir son futur.

L'exposé sera l'occasion de lier la forme d'un espace à la dynamique de ses géodésiques. Nous découvrirons les belles propriétés de la géométrie hyperbolique et leurs conséquences chaotiques.