Hackers vs équations diophantiennes

par R. Barbulescu et S. Canard

Ou comment des objets géométriques et algébriques vous permettent d'échanger des mails confidentiels mais néanmoins garantis sans virus. Conférence donnée dans le cadre du cycle « Mathématiques étonnantes ».

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Qui voudrait que son courrier puisse être ouvert par la poste ? Qui désirerait choisir entre protéger ses données sensibles ou être victime d’une cyberattaque ? Qui souhaiterait que son cinéma connaisse tout de sa vie ? Pourtant, nous sommes souvent confrontés à ces renoncements depuis que les ordinateurs, les tablettes et les smartphones ont envahi notre quotidien.

Utilisée depuis l’Antiquité, notamment par Jules César, la cryptographie a bien évolué, et offre aujourd’hui de nombreuses possibilités pour protéger ses données, sa vie privée, sans rien sacrifier de notre quotidien numérique. Elle permet d'associer anonymat et responsabilité, de calculer sur des données que l’on ne connaît pas, et bien d’autres choses encore…

Si cela est possible, c'est en particulier grâce à Diophante, un mathématicien ayant vécu à Alexandrie à l'époque hellénistique. Celui-ci étudiait des équations mathématiques comme $y^2=x^3+ax+b$ (on parle de courbes « elliptiques ») et notamment leurs solutions entières ou rationnelles. Ces courbes possèdent une structure mathématique riche, utilisée par exemple pour authentifier les passeports européens. La solution des problèmes plus complexes cités plus haut nécessite de faire intervenir l'accouplement de deux courbes elliptiques, un objet mathématique introduit au XXème siècle par deux mathématiciens : André Weil et John Tate.

Vous apprendrez les méthodes de construction des courbes elliptiques adaptées à de tels accouplements, ainsi que les algorithmes qui permettent d'accélérer de telles opérations, et qui font l'objet d'une recherche contemporaine abondante. Nous verrons également comment ces accouplements sont utilisés dans le système BlindIDS qui détecte des virus dans un trafic chiffré, ou dans LYRICS qui vous permet de bénéficier de votre réduction étudiant sans révéler votre identité.