Arithmétique des équations en un grand nombre de variables
par Diego Izquierdo
C'est une question très ancienne (et très difficile) en arithmétique que de déterminer si une équation polynomiale à coefficients entiers a des solutions entières. Ce problème peut aussi être formulé dans des cadres beaucoup plus généraux, où l'anneau des entiers est remplacé par d'autres anneaux intéressants, par exemple des anneaux de polynômes ou des anneaux de séries formelles. Dans cet exposé, nous nous pencherons principalement sur le cas des équations en un grand nombre de variables. Intuitivement ces dernières ont plus de chances d'avoir des solutions et sont donc souvent plus faciles à étudier.
15hInstitut Henri Poincaré
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Inscription gratuite obligatoire
Tout d’abord, nous aborderons la question de la modélisation. L’objet mathématique pour modéliser un réseau est le graphe. Nous présenterons alors divers modèles de graphe aléatoire, des algorithmes de simulation de graphes et étudierons les caractéristiques d’un réseau dans ces modèles (densité d’arêtes ou de triangles, degrés des noeuds, diamètre, coefficient du clustering…). En particulier, nous aimerions identifier les caractéristiques typiques d’un réseau social.
Ensuite, nous nous pencherons sur la question de la détection de groupes d’amis dans un réseau social, plus connu sous le nom de problème de détection de communautés. Nous présenterons l’algorithme célèbre de spectral clustering. Cet algorithme utilise la matrice laplacienne du graphe et nous montrerons les propriétés du laplacien qui permettent à l’algorithme de fonctionner.
Comme toujours, ce séminaire s'adresse aux étudiant·e·s à l'Université (tout niveau) et en classes préparatoires, ainsi qu'aux enseignant·e·s aussi bien en lycée, en classes préparatoires ou à l'Université. Il pourra également intéresser certain·es bon·nes élèves de terminale. Son but est de présenter des mini-cours sur des sujets variés en mathématiques d'une durée d'environ 1h30. Les exposés sont suivis d'une collation conviviale.
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