David Hilbert et son 17e problème : la tête aux carrés
par O. Benoist
En août 1900 a lieu à Paris le deuxième congrès international des mathématiciens. À cette occasion, le célèbre mathématicien allemand David Hilbert s'adresse à ses collègues. Il leur présente
« quelques problèmes déterminés pris dans diverses branches des mathématiques et dont l'étude pourrait concourir à l'avancement de la Science .»
Il s'agit d'une liste de vingt-trois problèmes mathématiques variés, que Hilbert jugeait de grande importance, et qui ont eu une influence considérable sur les mathématiques du XXe siècle. Aujourd'hui, certains ont été résolus, d'autres sont encore ouverts, et quelques-uns... n'ont pas été formulés assez précisément par Hilbert pour qu'on puisse le décider !
Le 17e problème de Hilbert fait partie de ceux qui ont été résolus incontestablement, et rapidement : une solution a été trouvée par Emil Artin en 1927. Son thème est la positivité des fonctions : comment reconnaître qu'une fonction est positive ? Par exemple, est-elle nécessairement une somme de carrés de fonctions, et pour quels types de fonctions ? Peut-on expliquer ainsi toutes les inégalités ? Hilbert lui-même avait consacré deux travaux très originaux à ce sujet, l'un en 1888 et le suivant en 1893, sans réussir cependant à résoudre la question qui allait devenir son 17e problème. Il aura fallu pour cela toute l'ingéniosité d'Emil Artin.
Loin d'épuiser le sujet, les contributions de Hilbert et Artin ont donné naissance à des domaines entiers des mathématiques : l'algèbre réelle et la géométrie réelle, encore très dynamiques aujourd'hui. Leur développement a été en partie motivé par des applications concrètes en robotique. En effet, si l'on dispose d'un robot constitué de bras articulés, décider si une position est accessible à ce robot, et lui expliquer comment atteindre, le cas échéant, cette position, est un problème tout à fait similaire à décider si une fonction est positive et à l'écrire, le cas échéant, comme somme de carrés.
Du « progrès général de la Science mathématique » appelé de ses vœux par Hilbert, aux robots, il n'y a qu'un pas... que je vous invite à franchir !
David HILBERT, Sur les problèmes futurs des mathématiques. Congrès international, 1900.
Olivier Benoist
Olivier Benoist a reçu son doctorat en mathématiques à Paris en 2012. Il a été chargé de recherches au CNRS, d'abord à l'université de Strasbourg, puis à l'École normale supérieure de Paris. Son domaine de recherche est la géométrie algébrique ; il étudie donc la géométrie des ensembles de solutions d'équations polynomiales. Il s'intéresse plus particulièrement à la géométrie algébrique réelle.
Une bibliographie pour en savoir plus
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