"Les colonnes de Gergonne, dualité, controverse et paradoxe"
par E. Giroux
Vidéo de la conférence (site de la BnF)
Joseph Diaz Gergonne est né en 1771 à Nancy. Pendant la Révolution, il est officier d'artillerie, mais à partir de 1795 il peut se consacrer aux mathématiques, comme professeur de mathématiques transcendantales à l'école centrale de Nîmes. Il sera plus tard nommé professeur à l'université de Montpellier. Il fonde en 1810 une revue mathématiques spécialisée, les Annales de mathématiques pures et appliquées, dont il assurera la direction de 1810 à 1831. Cette revue, la première revue scientifique spécialisée en mathématiques jamais publiée, acceptait des articles à visée pédagogique et des articles de recherche originale. Les Annales de Gergonne, ainsi surnommées en raison du rôle prédominant de leur éditeur, ont ainsi publié des centaines d'articles importants, dont 200 de Gergonne lui-même, mais bien d'autres écrits de nombreux autres mathématiciens importants de cette époque, parmi lesquels un certain Évariste Galois ! Le rôle éminent joué par ce journal, édité par un professeur d'une université de province, à une époque ou l'Ecole polytechnique était l'institution scientifique dominante, est en soi un hommage à la stature de ce mathématicien.
L’œuvre mathématique de Gergonne porte principalement sur la géométrie. Il a été l'un des premiers à introduire une notion mathématique fondamentale et plus profonde que le nom ne le suggère, la dualité. C'est par la géométrie que la notion peut être présentée le plus facilement. Considérons en effet simultanément toutes les droites du plan. On sait bien qu'on peut les représenter par leur équation y = ax + b. Une droite correspond donc au choix des deux coefficients (a,b). L'idée stupéfiante de Gergonne (et de quelques uns de ses contemporains) est d'associer à la droite le point de coordonnées (a,b). A l'ensemble des droites correspond alors l'ensemble de tous les points d'un plan. On peut alors se poser de nombreuses questions : A quels points correspondent les droites passant par un point M donné ? A quels points correspondent les droites tangentes à une courbe donnée ? etc.
Cette correspondance, qui s'incarne dans le cas de la géométrie plane par l'association d'un point à une droite, peut s'inverser : au lieu de décrire l'ensemble des points correspondant à un ensemble donné de droites, on peut essayer de décrire l'ensemble des droites correspondant à un ensemble donné de points. On arrive à une symétrie entre les deux points de vue, que Gergonne exprime typographiquement en présentant la correspondance en deux colonnes — les colonnes de Gergonne.
La paternité de la notion de dualité fut à juste titre contestée à Gergonne par un autre français, Jean Victor Poncelet (1786-1867). Celui-ci releva en outre des erreurs dans le travail de Gergonne et constata un curieux paradoxe qui fut élucidé quelques années plus tard par le mathématicien allemand Julius Plücker (1800-1868). Au delà de ses côtés anecdotiques, cette histoire montre bien le rôle que certains facteurs humains — psychologie, intuition, communication — peuvent jouer dans l'élaboration des idées scientifiques.
La notion de dualité fait partie de ces grands concepts organisant la pensée mathématique d'aujourd'hui, et intervient à de multiples endroits. On en montrera quelques exemples actuels en géométrie et topologie.
Texte : Gergonne, Joseph Diaz «Recherches sur quelques lois générales qui régissent les lignes et surfaces algébriques de tous les ordres». In : Annales de mathématiques pures et appliquées, XVII, 1826-1827, pp. 214-252.
Pour en savoir plus : bibliographie
Emmanuel Giroux est directeur de recherche au CNRS, à l'ENS de Lyon. Après ses études en mathématiques à l'ENS de Saint Cloud et à l'université Paris-Sud, il participe à la création de l'unité de mathématiques pures et appliquées de l'ENS de Lyon à la fin des années 1980, d'abord comme doctorant, puis comme chercheur au CNRS. Spécialiste de topologie et de géométrie, il est tout particulièrement connu pour ses travaux en géométrie de contact et en topologie symplectique, notamment par un théorème spectaculaire, le théorème des "livres ouverts" permettant d'étudier la géométrie de contact d'un point de vue purement topologique. Chercheur de réputation internationale, il a été conférencier invité au congrès international des mathématiciens à Beijing en 2002.
