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L'étude des sommes de carrés est presqu'aussi ancienne que les mathématiques elles--mêmes - par exemple, Diophante s'est intéressé aux sommes de deux et trois carrés, et semble avoir su que tout entier positif peut s'exprimer comme une somme de quatre carrés. Au 17ième siècle, Fermat a caractérisé les sommes de deux carrés, et s'est attaqué aux sommes de quatre carrés. C'est finalement Lagrange qui a publié, en 1770, la première démonstration du "théorème des quatre carrés" pressenti par Diophante. Les sommes de trois carrés s'avèrent être plus difficiles - c'est Legendre qui les a caractérisées. On peut aussi se poser une question plus précise : de combien de façons peut - on écrire un nombre donné comme somme de carrés ? Là aussi, les nombres pairs sont plus faciles - Fermat a traité le cas des deux carrés, Jacobi celui des quatre, six et huit carrés. La théorie des formes ternaires de Gauss a résolu le problème pour les sommes de trois carrés. En 1881, l'Académie des Sciences de Paris a mis au concours un Grand Prix pour le meilleur mémoire sur la "Décomposition des nombres entiers en une somme de cinq carrés" L'Académie a attiré l'attention des concurrents sur un article d'une page d'Eisenstein, qui donne une formule, mais sans aucune démonstration. Un mathématicien anglais, Henry John Stephen Smith, a été fort surpris de voir cette annonce dans les Comptes Rendus de l'Académie - en effet, il a publié dans les Proceedings of the Royal Society une solution du problème posé en 1867 déjà ! Il a contacté Hermite, qui lui a conseillé de participer au concours avec une version plus détaillée de ses travaux. Smith était alors agé de 52 ans. Pendant ce temps, un étudiant en mathématiques de Königsberg, Hermann Minkowski, a aussi vu avec grand intérêt la mise au concours de l'Académie. Bien qu'âgé de 17 ans seulement, il a étudié les travaux de Gauss, Dirichlet et Eisenstein, et le sujet l'intéressait vivement. Dès 1881, il s'est mis au travail, et il a aussi soumis un mémoire.
La commission de l'Académie a estimé que "...nous n'avons pu séparer ces deux beaux Mémoires...nous ne saurions les présenter l'un sans l'autre aux suffrages de l'Académie. Tous les deux en sont également dignes..." et a donc recommandé l'attribution du prix aux auteurs de chacun des deux mémoires. Smith n'a malheureusement pas vécu assez longtemps pour recevoir son prix, car il est mort deux mois auparavant. Mais Hermann Minkowski a bien reçu le prix, ainsi que les
encouragement des mathématiciens français. En particulier, Camille Jordan lui a écrit "travaillez, Monsieur, à devenir un géomètre éminent". Minkowski a suivi les conseils de Jordan, et il a apporté des contributions fondamentales à la théorie arithmétique des formes quadratiques, à la géométrie des nombres (sujet qu'il a lui--même crée) ainsi qu'aux fondements mathématiques de la relativité restreinte. Le but de la conférence est de présenter quelques uns de ses travaux, et certains des développements plus récents qui leur ont fait suite.

Eva Bayer--Fluckiger est professeur à l'Ecole Polytechnique Fédérale de Lausanne. Elle a publié environ 50 articles de recherche sur des sujets d'algèbre, de théorie des nombres et de topologie. Elle est lauréate du prix Maria Sybilla Merian, 2001.