1. La formule de Machin (1706) s’écrit π = 16 actan(1/5)-4 actan(1/239), et elle permet de calculer numériquement une excellente approximation numérique de π.

2. Le problème de Bâle, résolu par Euler (1735), consiste à trouver la valeur exacte de la somme ζ(2)=1+1/4+1/9+1/16+...

3. Par contre, il n’existe pas d’expression rationnelle pour ζ(3) = 1+1/8+1/27+1/64+… (Apéry, 1978)
 

À partir de ces trois questions (et de  bien d’autres), l’exposé se propose d’illustrer l’efficacité de l’algorithme de Lenstra-Lenstra-Lovász (1982) pour aider les mathématiciens à expérimenter, deviner et établir des formules algébriques. Cet algorithme est implémenté dans les logiciels libres gp/pari et SageMath, et donc à la disposition de tous.