Nous introduisons une nouvelle propriété des systèmes dynamiques topologiques, que nous appelons complexité dynamique finie. Les produits-croisés de $C^*$-algèbres associés aux systèmes dynamiques ayant cette propriété peuvent être décomposés en parties plus simples, ce qui permet de calculer leurs groupes de K-théorie, via des méthodes de K-théorie contrôlée.

Dans cet article, nous illustrons cette idée en donnant une nouvelle preuve de la conjecture de Baum-Connes pour les actions de complexité dynamique finie. Nous avons essayé de rendre l'article aussi indépendant du reste de la littérature que possible, afin qu'il reste accessible pour quelqu'un n'ayant suivi qu'un premier cours de $K$-théorie opératorielle. En particulier, nous ne supposons aucune connaissance préalable de la $K$-théorie contrôlée, et nous utilisons un nouveau modèle concret pour la conjecture de Baum-Connes à coefficients qui n'utilise pas la K-théorie bivariante de Kasparov.