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Exposé Bourbaki 789 : Deformation quantization

Exposé Bourbaki 789 : Deformation quantization

A. WEINSTEIN
Exposé Bourbaki 789 : Deformation quantization
  • Année : 1995
  • Tome : 227
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 16S80-58F05-58G10- 81S10-53B15
  • Pages : 389-409
  • DOI : 10.24033/ast.302

Le problème de quantification par déformations est de construire, sur une variété symplectique quelconque $M$, une famille formelle $*_\hbar $ de multiplications associatives sur $C^{\infty }(M)$ telle que $*_0$ est la multiplication ponctuelle, et $\lim _{\hbar \rightarrow 0}(f*_{\hbar }g-g*_{\hbar } f)/i\hbar $ est le crochet de Poisson $\{f,g\}$. Dans cet exposé, j'expliquerai une nouvelle construction par B. Fedosov de telles familles qui est algorithmique à partir d'une connexion symplectique (qui existe toujours). En utilisant l'extension de cette construction aux fonctions à valeurs dans les endomorphismes d'un fibré vectoriel, on obtient un théorème de l'indice pour les variétés symplectiques quelconques (version algébrique du théorème d'Atiyah-Singer dans le cas des fibrés cotangents).

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