La fonction polylogarithme $\mathrm {Li}_n(z)$ d'ordre $n$ est définie sur le disque ouvert de rayon $1$ par la série $\sum ^\infty _{k=1}{z^k/k^n}$. Cette fonction se prolonge analytiquement en une fonction multiforme sur tout plan complexe. La même série $\sum ^\infty _{k=1}{z^k/k^n}$ définit une fonction analytique $p$-adique sur le disque unité ouvert dans $\mathbb {C}_p$ (la complétion de la clôture algébrique de $\mathbb {Q}_p$). Les analogues globales $p$-adiques des fonctions $\mathrm {Li}_n(z)$ sont construites dans le cadre d'une analyse $p$-adique rigide. Ce sont des polylogarithmes $p$-adiques. Dans ce papier nous trouvons les conditions suffisantes et nécessaires pour une existence d'une équation fonctionnelle de polylogarithmes en termes des applications induites par des fonctions rationnelles sur les groupes fondamentaux étales de la droite projective moins un nombre fini de points.