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Georges Perec écrivait « L'espace de notre vie n'est ni construit, ni infini, ni homogène, ni isotrope. Mais sait-on précisément où il se brise, où il se courbe, où il se déconnecte et il se rassemble ? …»
Et sait-on précisément à quoi ressemble l’espace physique dans lequel nous vivons ? En 1904, le mathématicien français Henri Poincaré propose un critère simple pour vérifier qu’un espace à trois dimensions fini et sans bordure est une sphère. La conjecture de Poincaré était née ! Cette assertion sans démonstration est le début d’une grande aventure scientifique qui a occupé tout le 20ème siècle. La preuve de sa véracité à été donnée au début du 21ème par le mathématicien russe Grigori Perelman.
Cette question relève d’une branche des mathématiques appelée « topologie », « analysis situs » au temps de Poincaré, et son article est considéré comme fondateur de ce que nous appelons maintenant la topologie algébrique. Pendant de nombreuses années se succèdent les preuves (fausses) de la conjecture ainsi que la production d’exemples (faux) prouvant son contraire et tous ces efforts, même vains, ont produit une quantité phénoménale de techniques et de résultats qui ont enrichi la topologie.
Dans les années 1970, le mathématicien américain William Thurston propose à son tour, sans démonstration complète, une description de tous les espaces finis et sans bords à trois dimensions, c’est la conjecture de « géométrisation » de Thurston. La preuve de la conjecture de Poincaré en est une conséquence remarquable. Le schéma général devient alors tellement limpide qu’il n’est plus possible de douter de la véracité de ces deux conjectures.
À la suite des travaux d’un autre mathématicien américain, Richard Hamilton, Grigori Perelman utilise une méthode qui consiste à déformer l’espace en lissant les plis et ondulations pour le rendre plus homogène voire totalement rond. Il prouve la conjecture de Thurston par un tour de force, une originalité et une inventivité exceptionnels.
Ces résultats sont annoncés dans trois articles non publiés, simplement déposés sur la Toile. Cette façon de procéder est très inhabituelle dans la communauté mathématique qui privilégie la publication dans des revues à comité de lecture. Non seulement ces textes ne sont pas ignorés mais immédiatement plusieurs groupes se mettent à travailler sur les articles, qui sont plutôt des ébauches, pour en comprendre tous les détails. Les travaux de Perelman réunissent pratiquement tous les outils géométriques connus à cette époque et au cours de la démonstration il faut répondre à la question de Perec et déterminer les endroits où la courbure est grande, où l’espace se déconnecte et enfin savoir le rassembler ! Finalement la démonstration est validée par la communauté et, en 2006, Grigori Perelman se voit attribuer la médaille Fields, récompense suprême pour les mathématiciens, qu’il refuse ! Plus tard il refusera aussi le prix Clay d’un montant de un million de dollars !
C’est cette épopée qui sera décrite et l’enchaînement d’idées mathématiques qui conduit aux résultats.

Textes :

• G. Perelman, "The entropy formula for the Ricci flow and its geometric applications", 2002. Texte  en accès libre sur arXiv.
• G. Perelman, "Ricci flow with surgery on three-manifolds", 2003. Texte en accès libre sur arXiv.
• G. Perelman, "Finite extinction time for the solutions to the Ricci flow on certain three-manifolds", 2003. Texte en accès libre sur arXiv.

 

Pour en savoir plus :  bibliographie (format pdf)

Gérard Besson est directeur de recherches au CNRS et directeur de l'Institut Fourier, laboratoire de mathématiques fondamentales de l'Université de Grenoble Alpes. Il est spécialiste de géométrie Riemannienne et de la relation entre la topologie et la géométrie. Il a travaillé sur les variétés de dimension trois, sur les résultats de Grigori Perelman et leurs extensions aux variétés ouvertes. Il est récipiendaire du prix Alexandre Johannidès 2006 de l'académie des sciences, d'un soutien de l'Institut Clay et d'une bourse du European Research Council pour ses travaux sur les variétés ouvertes de dimension trois.