Dennis Sullivan, mathématicien des analogies

par B. Schapira

Les systèmes dynamiques sont une branche des mathématiques née au tournant du 20ème siècle. Il s'agit de comprendre, qualitativement, l'évolution d'un système au cours du temps, et décrire le mieux possible des trajectoires qu'on ne peut pas calculer explicitement, ni approcher numériquement.

 Imaginons que nous habitions sur une surface qui, autour de chacun de ses points, a l'allure d'une selle de cheval. Une telle surface est appelée hyperbolique. La dynamique qui nous intéressera consiste simplement, pour chaque point de départ, et chaque direction de départ fixée, à avancer tout droit dans cette direction sur la surface. La géométrie de la selle de cheval rend les trajectoires très sensibles aux conditions initiales. Il est rapidement impossible de prédire le comportement précis d'une trajectoire.

Dans les années 1930, Hopf montre un résultat important. Lorsque la surface a une aire finie, il montre que presque toutes les trajectoires vont remplir la surface, en passant dans chaque recoin de la surface un temps proportionnel à l'aire de cet endroit. En termes savants, on dit que la dynamique est ergodique.

Dennis Sullivan est un mathématicien américain, lauréat du prix Abel en 2023. Dans un article fondateur de 1979  il trace des liens forts et féconds entre les travaux déjà anciens de Eberhard Hopf, et l'œuvre magnifique de trois contemporains très différents, Rufus Bowen sur les systèmes dynamiques chaotiques, William Thurston en géométrie et topologie, et S.J. Patterson, motivé par la théorie des nombres.