Les mille et une pages mathématiques d'Alexandre Grothendieck

par B. Toën

Autour des années 1960 la géométrie algébrique connaît une révolution, sous l’impulsion du mathématicien Alexandre Grothendieck, professeur à l’Institut des Hautes Études Scientifiques entre 1959 et 1970. Alexandre Grothendieck quitte cependant brutalement la scène mathématique parisienne en 1970 et s'installe comme professeur à l’université de Montpellier jusqu’à sa retraite. Alors en rupture avec certains usages de la communauté scientifique, il ne cesse nullement son activité mathématique. Au contraire, il rédige plusieurs milliers de pages sur des sujets variés dont « Esquisse d’un programme » en 1984, dans lequel il nous livre, avec passion, une vision de ses projets de recherches du moment.

Dans cette conférence, nous tenterons d’apercevoir quelques éléments des mathématiques de cette « Esquisse d’un programme », avec comme point de départ la notion de « dessins d’enfants ». D’apparence naïve, puisqu’ils s’apparentent à des dessins d’enfants tracés sur un bout de papier, ces objets mathématiques portent en réalité en eux des phénomènes profonds liés à la théorie de Galois des équations et à la géométrie algébrique et incitent Grothendieck à revenir à ses « anciennes amours ». Il s’agira aussi d’expliquer comment ces mathématiques se sont faites, et comment elles prennent sens au sein de l’œuvre globale d’Alexandre Grothendieck, œuvre qu'il nomme dans ses écrits "géométrie arithmétique".