Le problème des rencontres

par R. Fresan

Il ne sera pas question de trouver l’amour à l’époque des applications de rencontres, mais de calculer la probabilité qu’une permutation aléatoire n’ait aucun point fixe. C’est ainsi que l’on formule aujourd’hui une question posée par Pierre Rémond de Montmort dans son *Essay d’analyse sur les jeux de hazard* de 1708, l’un des premiers grands ouvrages ayant contribué à faire passer le hasard du domaine des superstitions à celui des lois mathématiques. Il en trouvera lui-même la solution quelques années plus tard, puis l’approfondira dans sa correspondance avec Nicolas Bernoulli avant de la faire paraître dans la seconde édition. Après un détour par la vie romanesque de Montmort et la réception mouvementée de son essai, j’expliquerai plusieurs méthodes pour résoudre le problème des rencontres. Nous verrons enfin ce résultat ressurgir dans le calcul de la proportion des nombres premiers modulo lesquels un polynôme à coefficients entiers donné n’a aucune racine.