Les équations : la méthode de Descartes pour résoudre les problèmes géométriques

par N. Anantharaman

La Géométrie, avec La Dioptrique et Les Météores, est une des trois annexes du Discours de la Méthode (1637), l’un des textes philosophiques majeurs de René Descartes. L’édition de 2009 annotée par André Warusfel nous donne accès au contenu de ce texte qui a changé le visage de la géométrie. Descartes y pose les bases d'une méthode encore toujours enseignée au lycée pour résoudre certains problèmes géométriques : analyser le problème pour le convertir en équations, en attribuant des lettres (x, y,...) aux différentes inconnues du problème : longueurs, angles, coordonnées... Descartes s'attache alors à classer les problèmes et les équations par "degrés" croissants, espérant ainsi trouver une méthode systématique pour trouver les solutions. Ce texte sert à la fois d'exemple au Discours de la Méthode, mais aussi de point de départ, l'abstraction mathématique étant pour Descartes le terrain le plus sûr sur lequel développer la méthode qu'il appliquera ensuite pour progresser dans tous les domaines, scientifiques et moraux. Pour beaucoup de mathématiciens cependant, considérer un problème géométrique uniquement sous l'angle analytique ne signifie pas le "comprendre", et la conférence sera l'occasion de réfléchir aux différentes manières de faire de la géométrie. Le Discours de la méthode nous livre aussi des réflexions très personnelles sur les conditions de travail du chercheur, abordant des questions plus que jamais d’actualité : la nécessité de publier, l'intérêt du travail solitaire ou en équipe, le lien entre mathématiques et autres sciences, et enfin les manières d’affronter la censure.