SMF

Measured and geometric group theory, rigidity, operator algebras

Session Etats de la Recherche/Semaine SMF-CIRM 2020
Affiche à venir

Organisateurs :
D. Gaboriau, C. Houdayer, R. Tessera.


Programme et informations (à venir).
 

 

Measure versus topological dynamics have witnessed dramatic progress in the last ten years, and fascinating parallels have be drawn between these two theories. For instance the notion of full group became central in both settings. Similarly, the collection of stabilizers for non free actions led to the emerging topic of invariant random subgroups (IRS) and their topological counterparts : uniform recurrent subgroups (URS).
Geometric group theory and measured group theory consist in a kind of "sociological" study of groups via Gromov’s notions of topological couplings, resp. measure equivalence, and is intimately related with topological, resp. measured, dynamics of groups. Recently, a notion has been intensely studied that interpolates between measured and topological dynamics : Lp-measure equivalence.
Rigidity phenomena are omnipresent both in measure and geometric group theory in particular when dealing with higher rank lattices. Since the fundamental work of Margulis, an impressive amount of work has been devo- ted to generalize and strengthen it. Recently, various Von Neumann versions of Margulis’ theorem that had been suggested by Connes have been proved. In spite of these impressive progresses, many natural problems remain wide open, for instance very little is known for irreducible lattices in product of rank 1 simple Lie groups. Lastly, full groups have proved to produce rigid situations in terms of IRS and URS. Meanwhile, along the last years various phenomena of dizzying flexibility have been discovered especially among IRS.
The goal of this fall school is to immerse young researchers in these beau- tiful and quickly evolving subjects through 4 mini-courses completed by 6 additional one-hour talks. Special slots will be dedicated to exercise sessions.

Dynamique topologique et dynamique mesurée ont connu des progrès fulgurants ces dix dernières années et des parallèles fascinants ont émergé entre ces théories. Par exemple, la notion de groupe plein est devenue centrale dans les deux contextes. Par ailleurs l’ensemble des stabilisateurs associés à des actions non libres a donné lieu à la notion de sous-groupe aléatoire invariant (IRS), ou de sous-groupe uniformément récurrents dans le cadre topologique (URS).
La théorie géométrique des groupe et la théorie mesurée des groupe consistent en une sorte d’étude "sociologique" des groupes via les notions (dues à Gromov) de couplage topologique ou d’équivalence mesurée. Elles sont intimement associées à la dynamique topologique, resp. mesurée des groupes. Récemment est apparue une notion a permis de bâtir un pont entre ces deux domaines : l’équivalence mesurée Lp.
Les phénomènes de rigidité sont omniprésents autant dans la théorie me- suré que géométrique des groupes, en particulier concernant les réseaux en rang supérieur. Depuis les travaux fondamentaux de Margulis, un travail co- lossal a été déployé en vue d’étendre et de renforcer ces résultats. Recemment, des versions Von Neumann du théorème de superrigidité de Margulis qui avait été suggérées par Connes a été démontrées. Il n’en demeure pas moins que de nombreuses questions naturelles restent ouvertes, notamment concernant les réseaux irréductibles dans un produit de groupes de Lie simples de rank 1. Dernièrement, les groupes pleins ont permis d’obtenir des énoncés de rigidité en termes d’IRS et d’URS. Parallèlement, au cours des dernières années des phénomènes de flexibilité vertigineux ont été découverts, notamment parmi les IRS.
L’objectif de cette école d’automne est de plonger de jeunes chercheurs dans ces sujets passionnants et en pleine évolution à travers 4 minicours, complétés par 6 exposés d’une heures. Du temps sera également dédié à des séances d’exercices.
Du 05 au 09.10.2020 CIRM, Marseille CIRM, Marseille